第三百四十五章 哈密頓發現辛幾何（辛幾何）(第2/2頁)

如z方向向量與y動量向量配對，形成面積為零的平行四邊形。

這些成對向量也反映了辛空間的另一個重要性質，即它們與複數的內在聯絡。這些數字包括i，即?1的平方根，它們採用a+bi的形式，其中a是實部，b是虛部。

定義六維辛空間的一種方法是用三個複數，每個複數的兩個部分提供兩個座標。

這兩部分也對應於我們配對測量面積的兩個向量。

因此，對於每個點，基於x的方向和動量向量（例如）不僅提供了測量面積的方法，而且構成了定義空間的三個複數之一。

這種關係反映在辛的名稱中，辛來自希臘語單詞sumplektikos，相當於基於拉丁語的“plex”，這兩個詞都意味著“編織在一起”——這讓人聯想到辛結構和複數相互交織的方式。

這也是辛空間吸引數學家想象力的主要原因之一。

辛幾何研究是一種保持辛結構，保持面積測量不變的空間變換。

這允許在您可以使用的轉換型別方面有一定的自由，但不是太多。

因此，辛幾何佔據了一種介於防水布的鬆散拓撲和帳篷的剛性幾何之間的中間位置。

維持辛結構的轉換型別被稱為哈密頓異型。

但是，儘管漢密爾頓發現了辛空間的第一個例子，接著數學家開始思考在與物理世界無關的幾何空間中，辛現象會是什麼樣子。

數學家總是喜歡推廣，所以我們可能會說，‘如果我們生活在八維空間而不是三維空間，經典力學會是什麼樣子?

從20世紀60年代開始，弗拉基米爾·阿諾德(VladimirArnold)就提出了幾個有影響力的猜想，這些猜想抓住了辛空間比普通拓撲空間(比如鬆軟的球面)更具剛性的具體方式。

其中一個被稱為阿諾德猜想，它預測了哈密頓方程的異態具有數量驚人的“固定”點，這些點在變換過程中不會移動。

透過研究它們，你可以知道是什麼使辛空間不同於其他的幾何空間。

20世紀80年代末，一位名叫安德烈亞斯·弗洛爾(AndreasFloer)的數學家提出了一種名為弗洛爾同構的理論，這是一種強有力的框架，是數學家現在研究辛現象的主要方法。

它使用了被稱為偽全純曲線的物件，這種曲線以迂迴的方式允許數學家計算不動點，並確定它們的某個最小數目是辛空間固有的。

物理學符號也是人類解釋世界的工具，而不能把物理學理解為客觀世界的本質！

Gromov，Arnold，Sindel，Eliashberg都是辛幾何傳奇，達布定理是辛幾何第一個定理

結構和量化，它們互相成就！這畫面太美，已延續400年