第三百二十章 劉維爾的橢圓函式理論（橢圓曲線）(第1/1頁)

初等函式的積分在何條件下仍為初等函式，也是他著重討論的問題。

劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和c．雅可比(Jacobi)所建立的橢圓函式理論正處於蓬勃發展時期。

1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變數單值亞純函式的週期個數不多於2，週期之比為非實數)出發，建立雙週期橢圓函式的一套完整理論體系。

兩位德國數學家c．w．博爾夏特(bor－chardt)和F．約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況。

c．w．博爾夏特對劉維爾說：“聽說，你最近在研究橢圓函式理論？”

劉維爾說：“肯定的，這是未來的大趨勢。”

c．w．博爾夏特說：“一個橢圓函式，如何跟二維週期函式成為一回事的呢？”

F．約赫姆塔爾說：“我覺得這樣的理論不靠譜。”

c．w．博爾夏特說：“心裡覺得奇怪，我們雖然經歷了這樣的構造過程，但是還是覺得不可思議。難道數學以後就是要這樣研究的嗎？”

劉維爾說：“你們不僅僅要適應，還要把這種連續不斷的變化變成常態才能更好的研究。”

c．w．博爾夏特說：“等一下，讓我們再縷縷。是橢圓函式在復空間內，有一種圓環的形狀。”

F．約赫姆塔爾說：“然後是二維空間中也找到了這樣的結構？”

劉維爾說：“是的，這兩者間有關聯，所以當前我要把我所有的精力都耗在二維週期函式上。”

c．w．博爾夏特說：“你有什麼發現嗎？”

劉維爾像兩個數學家展示了劉維爾四個定理。這是對橢圓函式論的一個較大貢獻。圍繞雙週期性，劉維爾展示了橢圓函式的實質性質，如下：

劉維爾第1定理：在一個週期平行四邊形內沒有極點的橢圓函式是常數；

劉維爾第2定理：橢圓函式在任一週期平行四邊形內的極點處殘數之和為0；

劉維爾第3定理：n階橢圓函式在一個週期平行四邊形內取任一值n次；

劉維爾第4定理：在一週期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個週期。

後來，到巴黎訪問的，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙週期函式課程，也在c．A．布里奧(briot)與J．c．布凱(bou－quet)所著《雙週期函式論》(théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到系統介紹。因此，儘管劉維爾的有關結論很少發表，仍能在法國內外迅速傳播併產生影響，雙週期函式的講義後來發表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數學雜誌》上。