第六百四十八章 舒伯特（Schubert）計數(第2/2頁)

來自鏡流形。一個公式牽涉流形中不同次數的有理曲線數，根據格林恩的說法，計算起來絕對是很“恐怖”的事情；另一個公式則牽涉流形的形狀，相較起來要簡單得多。然而因為這一對鏡流形描述的是相同的物理性質，因此結果必須相等。這就像“狗”和“犬”兩字看起來不同，描述的卻是同一種覆毛的動物。格林恩與普列瑟的論文中有一個方程式，明確說明這兩組看起來長相各異的公式其實是相等的。格林恩說：“你可以有一個抽象上已知正確的公式，但是想把方程式計算到適當的精確度以得出數值，卻是很大的挑戰。我們有方程式，卻沒有從它提煉出數值的工具。而坎德拉斯和他的合作者發明出這項工具，這是很大的成就，對幾何學也有很大的影響。”

19世紀幾何學的重要結果之一是凱利（Arthur cayley）與賽爾曼（George Salmon）的研究，它們證明在所謂的“三次曲面”上共有27條直線。舒伯特後來推廣了這個凱利—賽爾曼定理。（

這個想法闡明瞭鏡對稱的潛力。我們或許不需要再去煩惱卡拉比—丘空間中曲線數量的計數，因為另外有一種和計數這種苦差事比起來很不一樣的計算方式，也可以獲得相同的答案。坎德拉斯團隊運用這個想法，計算了五次三維形中三次有理曲線的數目，結果答案是。

計數這些有理曲線的目的，並不僅止於該數值，而是放眼於整個流形的結構。因為在計數的同時，基本上我們是以成熟的數學技巧在移動這些曲線，直到過程涵蓋整個空間。在這樣的過程中，我們其實是利用這些曲線來定義這個空間，不管它是五次三維形或其他空間都適用。

計數曲面上的直線或曲線數，是代數幾何學與列舉幾何學中的常見問題。想知道曲面上的直線的樣子，可看看圖中這個雙直紋雙曲面，它是由一系列的直線所完全構成的，而它之所以稱為雙直紋，是因為曲面上每一點都有兩條直線透過。不過對於列舉幾何學來說，這樣的曲面並不是好例子，因為上面的直線數是無窮多。

這些結果的整體效果，讓一個垂死的幾何學分支乍然甦醒。根據美國加州大學聖地亞哥分校的數學家馬克·格羅斯（mark Gross）的看法，坎德拉斯團隊領先運用鏡對稱的想法，解決了這個列舉幾何學的難題，導致整個領域獲得重生。“當時這個領域基本上已經死了，”格羅斯說，“當舊問題解決之後，人們有時回頭用數學的新技術來計算舒伯特數，但是這些方法並無新意。”然後完全出乎意料的，“坎德拉斯帶來了新方法，是遠遠超出舒伯特所能想象的方法。”物理學家曾經迫切地從數學借用許多材料，然而當數學家倒過來要跟物理借用資源時，他們卻要求先看到坎德拉斯方法嚴格性的更多證明。