第五百六十九章 高木貞治類域論（域）(第2/2頁)
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這個交換過程極其繁瑣，是一大堆的邏輯符號，就算用範疇論的語言都需要寫好幾頁呢。”
小平邦彥無語：“那還不如非交換呢，把非交換弄簡單點，不也可以操作嘛！”
阿貝爾感覺到，關於數論中同餘的問題，往往就會關聯有限群。
這是不可避免的。
只要以規範，就會讓其得到大面積驚人的使用。
比如二律互反等一類的數論問題，在有限域這種地方也能用得著。
那麼近下來，讓大家接受有限數域，就是最終於的問題了。
對於此，阿貝爾擴張就是關於這個問題的研究的，同時後人有迴圈擴張、分圓擴張及庫默爾擴張。
對於分圓擴張，克羅內克發展了克羅內克的青春夢。
而高木貞治，解決了克羅內克青春夢猜想。
類域論就是研究怎樣用k的元素來描述k的所有阿貝爾擴張的問題。
1920年日本數學家高木貞治完成了類域論的最早突破：對於每個擴張K，都對應k中的一個物件t（K），即k的理想類群在某一等價關係之下的一個等價類。
高木描述了這些t(K)的集合，而且每一個t（K）都刻劃k的唯一的阿貝爾擴張K，並且K的代數及算術性質可由t(K)直接推出。
對這個漂亮的定理，高木給出的證明非常繁複，中間還要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定義狄利克雷L級數。
之前幾百年，高斯發現了二次互反律的多種證明。
1920年，高木貞治發展了關於數域的阿貝爾擴張理論，和類域論。
後來阿廷發現了阿廷互反律。
從中發現了在數論、群論和代數幾何之間的相互聯絡。
同餘代數，對於橢圓曲線與模形式。
而模形式對應艾森斯坦級數。
所以二律互反對於級數，一般級數使用狄利克雷的L級數來表示的。
阿廷就發現了這個東西，後來推廣到阿廷互反律。