第五百二十九章 嘉當活動標架論（幾何學）(第1/1頁)

嘉當開始尋找怎樣才可以更準確的研究流形？

他開始想象一個流形，這個流形在區域性當然是平整的，但這個區域性的點開始移動的時候，這個平整的面就會有角度的變化。

當然在光滑流形上的標架可以理解為從一點到一點的變化。

這種變化，除了位置以外，還有切線的變化。

在曲率的切線速率變化幾何特徵。

居然可以找到恆變數。

活動標架法的原始想法很老的。

要試圖瞭解空間裡一個曲線的幾何

你要標示曲線的每一個點。

首先標示曲線的速度向量。

就是曲線的切線方向。

然後標示曲線的加速度。

就是曲線轉的方向。

然後第三個防線方向。

顯示曲線的扭曲方向。

裝備了這套東西后，也就是

給曲線上每一點這三個方向後

就可以框出曲線的走向。

曲線上每一個點都有不同的標架

這就是活動標架法的由來。

這個想法在曲面上也很管用。

它的美妙之處在於。

當你順著曲線走的時候。

你可以專注於標示架轉動的方式。

這樣可以算出曲面上。

所有有用的資訊。

這個關於三維空間裡。

曲線和曲面的簡單概念。

可以被推廣到。

高維空間的高維物件。

從活動標架法出發。

寫下微分形式。

把微分運算元a作用到微分形式上去。

將它們用別的形式表達出來。

再把a作用到這些微分形式上去。

最後得到了一些幾何不變數。

這簡直就是奇蹟。

在區域性上一點的標架的存在性是顯然的，在全域性上的存在性要求拓撲條件的滿足。

嘉當發現在圓圈或圓環上的活動標架就存在，在二維球面上就不存在了。

存在一個全域性活動標架的流形稱為可平行化的。

嘉當還發現將緯度和經度的單位方向作為地球表面上的活動標架在北極和南極會有問題。

埃裡·嘉當的活動標架法基於對於所研究的特定問題取一個相應的活動標架。

例如，給定一個空間中的曲線，曲線的前三個導數通常可以給出其上一點一個標架(參看定量的形式參看撓率-它假設撓率非0）。更一般地，活動標架的抽象含義是將切叢作為一個向量叢時，其伴隨叢主叢GLn的一個截面。一般的嘉當方法利用了這點，並在嘉當聯絡中討論。

對於球面只有S1、S3、S7和是可平行化的。