第四百六十五章 莫爾斯不等式（流形）(第1/1頁)

亞瑟·凱利說：“考慮一個山區景觀，用水淹沒這個景觀。當水達到一個的高度時，考慮這個區域的拓撲如何隨著水的上升而變化，直觀地看來，除了透過臨界點的高度之外，它不會改變。”

詹姆斯·麥克斯韋爾說：“這些水只能發生如下三點：填滿盆地；覆蓋鞍座；淹沒高峰。”

亞瑟說：“對於這三個關鍵點中的每一種：流域、通道和峰值，也可以叫為最小值，鞍形和最大值。”

詹姆斯說：“直觀地說，盆地，山谷和山峰的指數分別為0，1和2。”

亞瑟說：“嚴格來說，關鍵點的指數是在那一點計算的不確定矩陣的負定子子矩陣的維數。在平滑地圖的情況下，海森矩陣證明它是一個對稱矩陣。”

在數學中，特別是在差分拓撲中，莫爾斯理論使得人們在莫爾斯之前，在拓撲背景下開發了莫爾斯理論。

莫爾斯開始研究微分拓撲，很多拓撲的結構都有不同的微分結構。

不同的微分結構在離散的點上，可以用相減做差分來分析。

做出差分的性質本身就可以區分很多不同的拓撲的結構。

必然的高虧格的，差分的數要大一些，低虧格的，差分的數要小一些。

當然了不論是什麼拓撲的，都儘量的保證曲率是要相等的。

莫爾斯研究拓撲學，想把拓撲學能分解成很多單形。

然後去研究這些單形，根據單形的性質來推敲這個拓撲的性質就可以了。

這裡涉及到一個同調群的概念，同調群是很多鏈組成，鏈一個復形上每個單形的有向的成分集合而成的。這些有向的單形的邊形成了一個圖論，而圖論可以用拉普拉斯矩陣拉表示。所以拓撲中的同調群可以用矩陣來表示。

這個矩陣的研究往往就是看維度有關的資訊，就是秩。

這個秩的大小與組成單形的個數有一個不等式關係。

這個不等式關係是恆成立的。

所以莫爾斯可以透過研究該多面體的可微分函式來分析多面體的拓撲。

根據馬斯頓·莫爾斯的見解，在多面體上的典型可微函式將直接反映拓撲結構。莫爾斯理論允許人們找到cw結構並處理多面體的分解，並獲得關於它們的同源性實質資訊。

莫爾斯原來將他的理論應用於測地學（路徑上能量函式的關鍵點）。這些技術在Raoul bott的週期定理的證明中被使用。