第一百三十一章 泰勒公式（微積分）(第2/2頁)
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度，我們可以使速度均勻變化，從而產生拐彎運動；若再給定加速度的變化率，我們使加速度均勻變化，速度拐彎變化，產生可轉向拐彎運動；
……如果一開始就設定好質點的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的話，正如用一隻無形的手調控著它的命運，那麼無論想讓它何時拐，往何處拐，如何拐……就全都在初始條件的設計之中了！這一刻，他彷彿觸控到了力量，觸控到了真理，觸控到了前所未有的自由！他大吼一聲：“泰勒展開！”
這條定理大致可以敘述為：函式在一個點的鄰域內的值可以用函式在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來。然而，在半個世紀裡，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是後來由拉格朗日發現的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。
把求導數的方程，調轉一下，就可以得到牛頓迭代。這樣的一階導數、二階導數……，都可以無限帶入進去。
牛頓迭代可以讓不能直接得到解的方程，無限接近於解的值，以達到近似的效果。後來泰勒將其改造成泰勒級數來確定很多函式。
對於任意一段連續可求導的函式，都可以與x軸方向得到一個面積的值。在古代，沒有人能對很多弧形的影象直接求面積的值的。但是積分就可以，因為牛頓將函式分成無數個斜率，與底邊形成了無數個體型而已，對於無數的體型無窮相加，取無限的值，就可以準確計算出這段陰影包含的面積。
泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之後，由柯西給出的。
泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變數函式都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。
泰勒於書中還討論了微積分對一系列物理問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。
他透過求解方程匯出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。
此外，此書還包括了他於數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。