第三百四十五章 哈密頓發現辛幾何（辛幾何）(第1/2頁)

在19世紀早期，威廉·羅文·漢密爾頓發現了一種具有近乎神奇性質的新型幾何空間。

它把運動和數學編碼成一個單一的、閃爍的幾何物體。

這一現象催生了一個叫做辛幾何的領域。

在過去的幾十年裡，它已經從一個小的見解集合發展成為一個動態的研究領域，與數學和物理的更多領域有著深刻的聯絡，比漢密爾頓所能想象的還要多。

辛幾何最終研究的是具有辛結構的幾何空間。

但是一個空間有一個結構到底意味著什麼——更不用說這個特殊的結構了——需要一點解釋。

幾何空間可以像防水面料一樣鬆軟，也可以像帳篷一樣僵硬。

西北大學的艾美·墨菲說：“防水布很有可塑性，但不管怎樣，你可以用一堆樹枝或腳手架來塑造它。”。

“這讓它變得更加具體。”

結構最少的空間只是連線點的集合。

直線是一維空間。

球的表面是二維的。

這些空間中缺乏結構意味著很容易在不從根本上改變它們的情況下使它們變形：扭曲線條，膨脹、縮排或扭曲球體，在研究這些非結構化空間的拓撲學家看來，它們仍然是一樣的。

劍橋大學的艾爾莎·基廷說：“就地形學家而言，如果你從一個球的表面開始，你可以隨心所欲地拉伸它，但只要你不打破它，它對他們來說仍然是同一個空間。”他們對整體形狀感興趣。”

當然，當數學家談論空間變形時，他們並不是說要用手拉它。

相反，它們用函式變換空間：一個點的座標變成一個函式，一個新點的座標就出來了。

這些變換將空間的每一個點帶到空間中的新點。

這在數學上相當於晃動防水棉。

您還可以向空間新增更多的結構。

這種結構增強了空間包含的資訊，但也限制了變形的方式。

例如，您可以向球的表面新增度量結構，例如在地球儀上新增經度和緯度線。

這種結構使測量兩點之間的距離成為可能。

但是一旦新增了這個度量，你就不能再在不破壞原有結構的情況下使球膨脹或縮排，因為這樣你就改變了點與點之間的距離。

例如，如果你使地球膨脹，紐約和倫敦會相距更遠。

辛結構是另一種可以新增的結構，它提供了一種測量空間面積的方法，並且只有在面積測量值保持不變的情況下，你才能改變空間的形狀。

漢密爾頓在研究諸如行星運動等物理系統時發現了第一個這樣的空間。

當行星在空間中移動時，它的位置是由三個座標確定的，分別是x、y和z軸。這些點代表了行星所有可能的位置，形成了一個三維空間。

漢密爾頓觀察到，在三維空間的每一點上，你可以指定三個額外的座標，來指定行星沿每個軸的動量。

叫他們xm，ym和zm。現在你有六個座標：三個代表位置，三個代表動量。

這六個座標定義了一個新的六維空間中的點。

他的六維空間是一個辛結構空間的例子，因為它可以進行面積測量。

這就是它的工作原理。

在空間中的每一點上都可以畫出六個“向量”，或者有向箭頭，它們對應著行星在向量所指向的維度上的方向或動量。

因為兩個向量可以定義一個平行四邊形——一個有面積的二維空間——我們可以取空間中的兩個向量來測量一個面積。

但是為了確保它是一個非零的數字，你必須選擇特定的一對向量:那些表示沿著同一軸的方向和動量的向量。

不匹配的向量，