第三百三十三章 莫比烏斯反演（數論）(第1/1頁)
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奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯自打跟克萊因討論的翻轉這個事情以來，自己在很多問題上都想找到各種奇思妙想的翻轉。
其中一個是關於數論中因子分解的翻轉，就是莫比烏斯反演。
莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。
莫比烏斯研究如下函式：
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
反演變化過來時以下情況：
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-F(1)
f(3)=F(3)-F(1)
f(4)=F(4)-F(2)
f(5)=F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
f(7)=F(7)-F(1)
f(8)=F(8)-F(4)
後來的莫比烏斯函式用在黎曼猜想J（x）公式裡。
μ(1)= 1
μ(n)= 0 (如果 n 可以被任一素數的平方整除)
μ(n)=-1 (如果 n 是奇數個不同素數的乘積)
μ(n)= 1 (如果 n 是偶數個不同素數的乘積)。
因此知道了 J(x)就可以計算出π(x)，即素數的分佈函式。把這些步驟連線在一起，我們看到，從 ζ(x)到 J(x)，再從 J(x)到π(x)，素數分佈的秘密完全定量地蘊涵在了 Riemann ζ函式之中。這就是 Riemann 研究素數分佈的基本思路。
莫比烏斯反演用在黎曼猜想上，就充分說明了在黎曼猜想上，有一個更加深刻的反演的東西，這也許是莫比烏斯和克萊因要尋找的那種反演的東西。