第六百四十八章 舒伯特（Schubert）計數(第1/2頁)

calabi-Yau也在數學中引發了一系列重大的進展，如超弦學家candelas等人透過研究不同的calabi-Yau流形給出的相同的超對稱共形場論所發現的鏡對稱猜想。這個猜想由丘成桐、連文豪與我以及Givental獨立證明，它解決了代數幾何中遺留了上百年的舒伯特（Schubert）計數問題。

大概在格林恩與普列瑟的論文發表一年後，鏡對稱的下一步發展攫取了數學社群的注目。

坎德拉斯、德拉歐薩（xenia de la ossa）、保羅·葛林（paul Green，馬里蘭大學）、帕克斯（Linda parks）四人證明了，鏡對稱可以幫忙解決一個代數幾何學與“列舉幾何學”（enumerative geometry）中的難題，這是超過數十年未解的問題。

坎德拉斯團隊所研究的是五次三維形的問題，這個問題也稱為舒伯特問題，舒伯特（hermann Schubert）是19世紀的德國數學家，他解決了這個難題的第一部分。

所謂舒伯特問題是計數在五次卡拉比—丘流形上“有理曲線”（rational curve）的數目，其中有理曲線是像球面一樣，虧格為零或沒有洞的曲線（實二維曲面）。

計數這些東西聽起來像是種古怪的消遣，但如果你是個列舉幾何學家，那麼這就是你每天的主要工作。

不過這個工作絲毫不簡單，絕不像把罐子中的太妃糖倒到桌上數一數而已。

如何計數流形上的物件；如何為問題找到正確架構，使得計數所得到的值有用，百餘年來一直是數學家的挑戰。

舉例來說，如果想讓最後計數出來的數值是有限而不是無限的話，我們能計數的物件就必須是緊緻空間，而不能像是平面那樣的空間。

又例如要計數的是曲線的交點數，這時相切（輕觸彼此）的情形就會造成麻煩。

列舉幾何學家發展了許多技術來處理這些情況，希望最終的結果是離散的數。

這類問題最早的例子出現於公元前200年左右，希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius of perga）曾經提問說：“給定三個圓，有多少圓可以同時和這三個圓相切？”這個問題的一般答案是八，並且可以用直尺與圓規來解答。

但是要解決舒伯特問題，則需要更精密的計算技巧。

數學家處理這個難題的方式是逐步處理，每一步只處理一個固定的“次數”（degree）。

這裡所謂次數，指的是描述曲線的多項式中各項的最高次數。

例如4x2-5y3是三次多項式，6x3y2+4x是五次（x和y的次數要加起來），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等於零（2x+3y-4=0），就可以定義一條線。

因此這個問題是先取出五次三維形，指定有理曲線的次數，然後問說有多少這樣的曲線。

舒伯特解出了次數是一的情況，他證明五次三維形有2875條線。

大概一個世紀之後的1986年，現在任職於伊利諾斯大學的卡茲（Sheldon Katz）解出二次的情況，二次有理曲線數等於。

坎德拉斯、德拉歐薩、葛林、帕克斯解決的是三次的情形。不過他們的解法運用了鏡對稱的想法，因為想要直接在五次卡拉比—丘流形上解這個問題極端困難，但格林恩與普列瑟所構造的鏡伴流形，提供了容易得多的解題框架。

事實上，在格林恩與普列瑟關於鏡對稱的原來論文中，就已經指出這個基本的思路。他們說明湯川耦合這個物理量，可以用兩種差異很大的數學公式來表示，一種來自原來的流形，另一種