第六百零二章 齊默猜想（高維空間，對稱性）(第2/3頁)

觀察，對稱性與點的運動有密切的聯絡。按對稱性將空間進行變換意味著將空間上的每一個點移動到空間的另外一處。在這種視角下，將正方形順時針旋轉90°的真正意義是：考慮正方形上的每一個點，然後將它順時針旋轉90°，這樣每個點就移動到了新的邊上，這些點最終出現在與初始位置不同的邊上。

或多或少的，我們都是用剛性的方式來進行移動。最熟悉的一些對稱操作——透過對角線進行鏡面變換，或者旋轉90°——都非常剛性的。他們之所以剛性的是因為他們並沒有對點進行扭曲。鏡面變換前在頂角上的點在變換以後還是頂角上的點（只不過是不同的頂角），鏡面變換前在邊上的點在變換以後還是邊上的點（只不過是不同的邊上）。

但是，在實際上，還有很多更為靈活的對稱變換型別，這也是齊默猜想所感興趣的地方。在這些變換中，點會被最大限度的重組；他們在變換的過程當中不會完全遵循他們在變換前的位置關係。例如你可以將正方形的每一個點都圍繞著移動三個單位——這還是滿足了一個對稱變換的基本要求，它將空間上的每一個點都移動到了新的位置。新證明的合作者艾倫·布朗藉助球的模型來解釋這種不受約束的變換方式。

布朗稱：“你可以試著將球的南北兩極向相反方向拉扯，球上的距離和點之間的距離會加大。”

當你在討論一個網格時，除了平移平面中的網格，你還可以對網格進行扭曲，或者在某些地方進行扭曲，而在其他地方進行拉伸，這就使得轉換後的網格不再與原來的網格完全重合。這些變換就沒有那麼剛性了，他們被稱之為微分同胚。

在他的猜想當中，齊默有非常好的理由認為這種更為柔性的變換是有意義的。在20世紀60年代，格里戈裡·馬爾古利斯(Grigory margulis)對在齊默的猜想當中涉及的這種高維格進行了研究。馬爾古利斯也因為這項工作由此獲得了菲爾茲獎。當要求只進行剛性的變換時，哪些空間可以由這些高維格轉換而來，馬爾古利斯給出了這種空間所有滿足的條件。

因此，齊默猜想是對馬爾古利斯研究的自然延伸。他便是開始於高維格架構變換得以實現的空間——馬爾古利斯所找到的空間——並持續深入探討如果允許不那麼剛性的變換，也就是在放寬變換的條件之後，這個集合是否會進一步擴張。

在他們新的研究當中，三位數學家們證明了當高維格的放寬對對稱性的定義以後，廣義的對稱性特徵並沒有本質變化。即使格進行不規則的空間變換時——比如剪下、彎曲、拉伸——高維格仍然被限制在它們所在的空間中。

費希爾說：“由於在這個問題上加了那麼多的靈活性之後，你就有了一種直觀的感受，這些高維格群能作用於任何空間上。所以，我們很驚訝的發現，答案是不對的。在某種情況下，他們不能作用於任何空間上。”

這幾位數學家們在空間的維度和能作用在其上的高維格維度（或秩）之間建立了聯絡。他們證明了在通常情況下格的維度越高，空間的維度也應該越高，這樣才能對格的對稱性產生作用。在高維空間裡，即使有非常好的空間變換靈活性，高維格的變換依舊受到高維空間的限制。

威爾金森說：“這就告訴了我們，空間將物體組合在一起會有一些非常基礎的特性，這種特性使得他們能夠產生這些變換。”

齊默猜想只是解決一個大問題的第一步。透過解決這個猜想，這個問題的研究者們對這些高維格能做用的空間給出了一個粗略的限制條件。下一步是更加宏偉的計劃，研究者將關注在這些空間中格是如何出現的，接著將這些格在空間中變換的方法進行分類。

齊默說：“這項計劃最後是要分清楚所有這些方法。在你目前所看到的問題