第四百五十二章 玻爾－諾伊格鮑爾概週期函式（函式論）(第1/1頁)

玻爾-諾伊格鮑爾理論闡明常係數線性微分方程有界解為概週期解的重要理論.玻爾(bohr，h.)最早指出：概週期函式f(t)的積分是概週期函式的充分必要條件是，F(t)對一切t∈R為有界.這就解決了最簡單的一階概週期微分方程dx\/dt=f(t)是否存在概週期解的問題.以此為基礎，對於一階線性常係數概週期方程以及一般n維非齊次線性常係數概週期微分方程dx\/dt=Ax+f(t)。

其中A為nxn常量矩陣，f(t)為概週期n維向量函式，論證它們的有界解即概週期解的理論，稱為玻爾-諾伊格鮑爾理論.

哈那德·波爾說：“你為什麼想要編撰古代精密科學的研究？是不想研究現代的嗎？”

諾伊格鮑爾對波爾說：“正相反，我致力於做古代科學研究，正是因為現在的科學就是從古代而來，看過古代科學之後，可以溫故而知新，更加熟練的瞭解現在的科學。”

波爾說：“那你還會研究現在的科學嗎？”

諾伊格鮑爾說：“是的，其實我知道這些東西增加了我對文獻學的理解。”

波爾說：“哪些是實用的？”

諾伊格鮑爾說：“我們需要把沒用的文獻，一腳踢開。大量沒用的，佔用時間的，或者是重複的文獻是在佔用時間，連一個字都不能多留下。”

波爾說：“然後只讀一些新的，最新鮮的，這樣可以保證讓自己一直快速有效的得到新知識。”

諾伊格鮑爾說：“沒錯，這也是讀文獻的真正目的。隨著文獻的增加，我們肯定需要更多的知識充實自己，然後讓自己做出更多有效的貢獻。”

隨後兩個人的交談轉向了數學問題。

波爾說：“前一段時間考慮的係數線性微分方程有界解為概週期解的問題，考慮過了嗎？”

概週期函式又稱殆週期函式，週期函式的一種推廣，具有某種近似週期性的有界連續函式。概週期函式是在研究週期函式某種性質的基礎上進一步提出來的。三角多項式以及三角多項式序列的極限都是週期函式。而三角和序列的極限卻未必是週期函式。但這類極限函式的特徵可以用某種近似週期性來刻畫。

不同的週期函式由於週期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是週期函式。概週期函式儘管未必有嚴格的週期性，但可擁有一些比周期函式更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進，後來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣。貝西科維奇因概週期函式方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學的亞當斯獎。

諾伊格鮑爾說：“如果定義域有界，那就可以成為概週期。”

哈那德·波爾本人是波爾的弟弟，他的哥哥是個著名的量子物理學家。而他不遜色自己的哥哥。

如同週期函式一樣，任何概週期函式都是有界的，且一致連續。

如果f 是概週期函式，那麼對於任意實數a，f(x+a)、 f(ax)、af(x)、|f(x)|也是概週期函式。

如果 f 和g 都是概週期函式，那麼f+g、f-g和都是概週期函式。

如果f(x)是概週期函式，h是f 的值域到R上的一致連續函式，則 h(f(x))也是概週期函式。

如果概週期函式的序列在實軸上一致收斂於函式f(x)，則f(x)也是概週期函式。

如果f(x)是概週期函式，則f'(x)為概週期函式的充分必要條件是f(x)的導函式f'(x)一致連續。

如果f(x)是概週期函式，則F(x)為概週期函式的充要條件為F(x)有界。