第四十九章 楊輝三角(第1/2頁)

楊輝三角形，一目瞭然，每個數等於它上方兩數之和。

研究過《九章》、《緝古》、《綴術》、《海島》這些演算法的楚衍說：“我發現了一個奇特三角，每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。”

1050年寫過《釋鎖算術》的賈憲說：“這個三角第n行的數字有n項。”

1261年，寫過《詳解九章演算法》的楊輝說：“這個三角形前n行共[(1+n)n]\/2 個數。”

1303年朱世傑說：“第n行的m個數可表示為 c(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。”

1427年，寫過《算術的鑰匙》的阿拉伯人阿爾·卡西說：“第n行的第m個數和第n-m+1個數相等，為組合數性質之一。”

1527年德國人阿皮亞納斯說：“每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 c(n+1，i)=c(n，i)+c(n，i-1)。”

1544年，寫過《綜合算術》的德國人米歇爾.斯蒂費爾說：“這是二項式展開式係數，其中(a+b)n的展開式中的各項係數依次對應三角的第(n+1)行中的每一項。”

斐波那契說：“將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。”

1545年法國的薛貝爾說：“將第n行的數字分別乘以10^（m-1），其中m為該數所在的列，再將各項相加的和為11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1x10^1=11，11^2=1x10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3x10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1x10^5=。”

1654年，寫過《論算術三角形》的帕斯卡說：“第n行數字的和為2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。”

這個被歐洲人稱之為帕斯卡三角形。

1708年的pierre Raymond de montmort說：“斜線上數字的和等於其向左（從左上方到右下方的斜線）或向右拐彎（從右上方到左下方的斜線），拐角上的數字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。”

1730年的亞伯拉罕·棣·美弗說：“將各行數字左對齊，其右上到左下對角線數字的和等於斐波那契數列的數字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。”

後來人們也稱呼這是中國三角形。

二維的楊輝三角有多項式係數，晶體晶格，單形的點線面或者是四維體，五維體等等這樣的有價值的東西。其中是虧格為0的尤拉定理