第三百七十三章 裡奇的流形（流形）(第1/2頁)

1884年，裡奇-庫爾巴斯托羅（Ricci-curbastro）開始了關於絕對微積分（absolute differential calculus）的工作。

1900年，列維-齊維塔（Levi-civita）和裡奇-庫爾巴斯托羅（Ricci-curbastro）出版了《絕對微積分方法及其應用》（méthodes de calcul differential absolu et leures applications），其中他們建立了張量理論，15年後在廣義相對論中用到。

列維-齊維塔對裡奇說：“想要確認是不是拓撲學等價，也需要經過拓撲等價變化得來的。”

裡奇說：“等價變換的過程，就意味著這個東西需要做一個改變了，尤其是曲率會有改變。”

列維說：“聽起來好複雜啊，能夠完成嗎？”

裡奇說：“會的，複雜但不意味著做不到，一個有曲率的流形，可以用埃爾米特度量來表示，曲率的變換，僅僅是那些上三角矩陣中數字的變換而已。”

列維說：“我們可以嘗試的去掌握這種變換。”

裡奇想拿熱學做類比，但是實際不成熟，腦中想了想之後，還是壓下去低調的說：“沒錯，到時候等價拓撲流形變換，就是埃爾米特流形度量矩陣裡數字的變化而已。那個時候，我們可以使用這個工具去構造。”裡奇突然在想，很多熱力學中的複雜變化跟這個裡奇流變化也有關係，而且埃爾米特度量矩陣中的數字，有了一種類似於玻爾茲曼公式中的熱學資訊的秩序感，那麼熱學中的無序變化，就是熱學中埃爾米特度量的數字資訊的變化，從這個數字上可以反映出有序到無序的不可逆性，就類似了棋盤和擺牌這種模型了。

列維說：“然後用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何結構，把不規則的流形變成規則的流形。這個可以應用在力學中，力學可以讓材料發生變形。力學幾何解釋就是，內在的曲率變化就是封閉流形的度規變化的原因。把區域性內在轉動歸結為封閉流形位形幾何演化的內在原因。”

裡奇覺得力學的比喻是十分恰當的，而且還找到了變化的單元，藉助這個區域性轉動的概念，就可以像壘積木一樣的搭建一個流形大廈了。

同時他認為可以從兩個角度來解釋：“對連續介質力學而言，對dg\/dt 可以作出應變的對應解釋。而在幾何上，對於曲率變化，可以做出區域性內在轉動的解釋。”

列維說：“所以，把區域性內在轉動歸結為封閉流形位形幾何演化的內在原因。如果這個內在轉動不為零，則封閉流形會演化下去，只到達成一個平衡位形。”

一般而言，外部的物理作用由一個泛函f引入，從而，完整的、在外場作用下的Ricci方程為：

dg\/dt=-2Ricci(g)-2ddf(R)。

這樣，對特定的外場，就有一個特定的平衡位形。

與連續介質力學不同，應力的概念被一個依賴於曲率的泛函區域性二階微分特性給定了。

這多少與格林應力是等價的。

而在連續介質力學中，一個長期以來的難題是如何定義物質微元的幾何屬性。

這個物質微元是封閉的3-流形。

從而，Ricci流方程把微元閉流形的變化與連續介質的宏觀位形變化連續了起來。

而在經典的連續介質力學中，微元物質是被隱涵的假定為三個1-流形的直和。

那是最為簡單的情況，這是特例。此時，各向同性假定是必須引入的。

但是，各向異性就象一個幽靈，緊隨大變形而來，如接受，就與前提矛盾；如不接受，