第三百一十章 魏爾斯特拉斯函式（反常函式）(第1/1頁)
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Engel對維爾斯特拉斯說：“我知道狄利克雷函式它處處不連續，處處極限不存在。還沒聽說過處處連續而處處不可導的函式。會有這樣的函式嗎？”一般人在直覺上會認為連續的函式必然是可導的，即使不可導，不可導的點也必然只佔整體的一小部分
維爾斯特拉斯寫出了一個方程，是一個餘弦求和函式，外部係數a的n次方，a大於0小於1，內部角的係數是b的n次方乘以π，其中b是正奇數，符合一個條件a乘以b大於1加π乘以1.5.
Engle說：“這樣的函式式如何處處連續的？”
維爾斯特拉斯大概將圖描出來，是一個異常都懂像是充滿毛刺的圖。
Engle說：“這跟狄利克雷函式差不多了看，看起來處處不連續了。”
維爾斯特拉斯說：“這個圖放大了還是這種形狀，一直放大，一直是這樣相同的形狀。”爾斯特拉斯函式可以說是第一個分形函式，儘管這個名詞當時還不存在。將魏爾斯特拉斯函式在任一點放大，所得到的區域性圖都和整體圖形相似。無論如何放大，函式影象都不會顯得更加平滑，不像可導函式那樣越來越接近直線；仍然具有無限的細節，不存在單調的區間。
Engle說：“聽起來確實十分病態。”
維爾斯特拉斯說：“根據我發現的判別法可以證明這個函式的收斂性，也進一步證明這個函式是處處連續的。”
Engle說：“那如何去處處證明這個函式式處處不可導？”
維爾斯特拉斯說：“直接使用求導公式來，可以從中匯出數列，匯出矛盾。”