第二百九十三章 拉普拉斯－貝爾特拉米運算元（微分運算元）(第1/2頁)
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貝爾特拉米說：“我們需要開始正視一個重要問題。”
貝爾特拉米對自己的學生開始解釋，拉普拉斯運算元可以推廣為定義在曲面。學生津津有味的聽著，覺得這是非歐幾何學中必然要經歷的最重要的一步，讓貝爾特拉米運算元在曲面中計算。
貝爾特拉米解釋道體積形式的時候，學生意識到不對勁。
“我一直聽到體積形式這樣的東西，我認為你在強調它，你是不是需要解釋一下。”學生明顯的感受到貝爾特拉米那種不可思議的氣氛，總覺得需要細細的去推敲這個意思。
貝爾特拉米對學生說：“對於不同的座標，我們當然認為對體積的定義是十分重要的。”
學生說：“要是這樣的話，我何嘗不知道，但你不僅僅是這個意思。貌似有一個可怕的念頭從我腦中閃過！”
貝爾特拉米想逗逗這個學生：“我講的也算簡單了吧，你還不懂什麼？”
“在推廣到高維的體積中，是不是我們需要注意一些更重要的東西。這就是你提到的體積的形式，你還用強調的語氣提到了這個，不僅僅是曲面幾何的問題。這裡面有一個更重要的意思。”
學生說話有點久到了語無倫次的樣子。
貝爾特拉米也覺得已經吊足胃口，該是給學生好好解釋一個問題了。
“好的，你跟其他學生不同，你很不俗。”說罷，貝爾特拉米開始在黑板上寫東西。
學生一開，貝爾特拉米畫了楊輝三角的圖。
然後貝爾特拉米對學生說：“你知道四維空間的單形應該是什麼樣子了吧。”
學生說：“根據三維空間裡的四面體，我知道你想說的是，有五個點，10條線，10個面。”
貝爾特拉米興奮道：“然後呢？”
學生說：“你的意思是有5個體？”
“然後往下說。”
學生感覺這個突破了自己的三觀，就說：“這個現實生活中沒有把，我們叫什麼名字，叫它有一個超體積？一種四維形式的體積？”
貝爾特拉米說：“這是一個比體積還有體積的高維的東西，而且隨著維度的增加，這些超級形的體積都會出現的。”
學生說：“因為他們在數學中存在，只是人類無法感知到而已。”
“沒錯。”
“那我們如何應對這個東西，如果是超體積，假如是四維體積，邊都相互垂直，邊長是a、b、c、d，那麼體積就是abcd這麼大對吧！”
“太對了，你已經學會了。”
“可是這個意義在哪裡？這只是一個超體積而已，我們都感知不到它們是存在的。很多數學家會不小心把它們落下。”
“可是數學上存在的，就是存在的。這個以後一定會有用途，畢竟高維推廣到了很多系統的研究上，難免會有超體分析這樣的課題存在。你要善於去找和挖掘這樣的用途才對。”
學生笑著說：“那這個的罪過，是來源帕斯卡三角這個自然而然的奇怪東西。”
貝爾特拉米嚴肅到：“不要小看這種數學上的自然而然，這個很重要。”
在微分幾何中，拉普拉斯運算元可以推廣為定義在曲面，或更一般地黎曼流形與偽黎曼流形上，函式的運算元。這個更一般的運算元叫做拉普拉斯－貝爾特拉米運算元（Laplace–beltrami operator）。
與拉普拉斯運算元一樣，拉普拉斯–貝爾特拉米運算元定義為梯度的散度。
這個運算元作為共變導數的散度，可以延拓到張量上的運算元。
或者，利用散度與外導數，這個運算元可以推廣到微分形式上的運算元，所得的運算元稱為拉普拉斯－德拉姆運算元（Laplace–de R