第一百九十九章 李普希茨連續對映（微分幾何）(第1/1頁)

李普希茨是德國數學家、物理學家。主要研究數學分析、數論、微分方程、多維幾何、力學和物理。

1859年，他發表了關於藉助線積分給出貝塞爾函式的漸近展開式的嚴格研究。

1864年，在研究傅立葉級數收斂性時，給出了以他的姓命名的充分條件。

1876年，他改進了柯西關於常微分方程存在定理的條件。現在這一條件就被稱為李普希茨條件。他對n維空間的子空間給出了一些新的結果。

他還是微分不變數研究的創始人之一，在其工作中已出現了共變微分這種運算。

狄利克雷對利普希茨抱有希望，利普希茨聽話，而且有才華。

如果讓他研究一種重要的細節，肯定是有戲的。

先讓利普希茨去研究關於函式對映的問題。

狄利克雷讓利普希茨開始研究連續對映的概念。

設x，Y為任意兩個集合，對映f：x→Y，對於x0∈x，有y0=f(x0)，如果對於y0的任意鄰域U(y0)，總能找到x0的鄰域U(x0)，使得f(U(x0))?U(y0)。則稱對映f在點x0是連續的。如果對映f在集合x的每一點都是連續的，則稱對映f為x上的連續對映。

奧托·赫爾德和普利希茨都開始研究除了三維座標系的連續性，還有什麼樣的連續對映？

赫爾德說：“度量空間也是可以連續對映的。”

利普希茨說：“不是三維空間那種勾股定理的距離，而是單個變數的差值，就去代表距離。”

赫爾德說：“想要讓它變得合法化，是不是需要弄清它是不是連續對映的？”

利普希茨說：“起碼先要符合連續對映的條件，要不然，肯定不能這樣用。”

赫爾德說：“因變數的差值，是自變數差值的幾次方乘以一個常數。”

利普希茨說：“不需要這樣，只要一次方即可。”

後來a次方的赫爾德條件，也被稱為a階的利普希茨條件。

之後，弗雷歇開始在1910年考慮抽象空間的連續對映。

利普希茨連續的幾何意義是什麼？怎麼較好的理解它呢？

以陸地為例。

島嶼：不連續

一般陸地：連續

丘陵：李普希茲連續

懸崖：非李普希茲連續

山包：可導平原：線性

半島：非凸

想了半天用什麼來表達亞連續（semi-continuity），好像只能用瀑布了。稍微具體點的話，李普希茲連續就是說，一塊地不僅沒有河流什麼的玩意兒阻隔，而且這塊地上沒有特別陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？這就是所謂的李普希茲常數。懸崖的出現導致最陡的地方有“無窮陡”，所以不是李普希茲連續。

利普希茨連續不就是函式上任意兩點連線的斜率是有界的嗎？也就是斜率不能無窮大。考慮f(x)=sqrt(x)這個函式雖然在(0，+無窮)上一致連續，但是兩點間斜率可以無限大，因此不是利普希茨連續。