第六百五十四章 Severi猜想(第1/2頁)

弦論必須是十維的理由十分複雜，

主要的想法大致如下：

維度愈大，弦可以振動的方式愈多。

但為了製造出宇宙中的所有可能性，

弦論不只需要大數目的可能振動模式，

而且這個數目還必須是特定的數，

結果這個數只有十維時空才辦得到。

尋找鑽石的時候，幸運的話，你可能附帶找到其他的寶石。我在1977年發表的一篇兩頁論文裡，宣告完成了卡拉比猜想的證明。詳細的證明則發表在1978年的73頁論文中，在這篇文章裡，我附帶證明了另外五個相關的定理。

總而言之，這些意外的收穫，其實源自我思索卡拉比猜想時的非常境遇：我先是想證明他的猜想是錯的，後來又掉頭，試圖證明它是對的。非常幸運，我所有努力都沒有白費，每一著錯步，每條看似不通的死路，後來都被我用上了。我號稱的“反例”（從卡拉比猜想匯出的結論，我想證明它們是錯的），因為卡拉比猜想的成立，結果連帶也是正確的。因此這些失敗的反例，事實上是正確的典例，很快都成了數學定理，其中有些還頗為著名呢。

這些定理中最重要的一項，又帶領我們推匯出“賽佛利猜想”（Severi conjecture），這是龐加萊猜想的複數版本，數學家有二十多年無法證明其對或錯。

其中對小於零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的Severi猜想，復二維投影空間的復結構是唯一的，甚至任意維數復投影空間的卡勒復結構也是唯一的。

另一個匪夷所思的推論是，在任意維數的這類複流形上，存在一個奇妙的陳示性數不等式，而此前代數幾何學家卻只能得到復二維的情形。

不過在進行這項證明之前，我得先證明一個關於復曲面拓撲分類的重要不等式。我之所以對這個不等式感興趣，部分原因是聽到哈佛大學數學家曼弗德（david mumford）的演講，他當時正路過加州。這個問題是荷蘭雷登大學的安東尼斯·凡德文（Antonius van de Ven）首先提出的，討論關於凱勒流形陳式類的不等式，凡德文證明：凱勒流形第二陳氏類的8倍，不小於其第一陳氏類的平方。當時許多人相信將不等式中的8換成3，將會得到更強的不等式，事實上，大家認為3是可能的最佳值。曼弗德問的，就是能不能證明這個更嚴格的不等式。

這個問題是1976年9月曼弗德在加州大學爾灣分校演講時提出的，當時剛證明卡拉比猜想的我，正好聽了這場演講。他演講到中途，我就相當確定曾經遇過相同的問題。在演講之後的討論中，我告訴曼弗德自己應該可以證明這個更困難的不等式。當天回家後，我檢查做過的計算，果然不出所料，自己曾經在1973年試圖用這個不等式來否證卡拉比猜想。而現在，我可以倒過來，用卡拉比—丘定理來證明這個不等式。事實上我的收穫更豐盛，因為運用其中的特殊情況，也就是一個“等式”——即第二陳氏類的3倍“等於”第一陳氏類的平方——來證明了賽佛利猜想。

賽佛利猜想與這個應用範圍更廣的不等式[有些時候被稱為“波格莫洛夫—宮岡—丘不等式”（bogomolov-miyaoka-Yau inequality），以表彰另兩位數學家的貢獻]是卡拉比證明最初的主要副產品，此後還有其他應用接踵而至。

事實上，卡拉比猜想涵蓋的範圍比我之前提到的更寬廣，其中不只包含黎奇曲率為零的情況，也包括黎奇曲率為正常數與負常數的情形。

到目前為止，還沒有人能證明出正常數條件中最普遍的情況。事實上，正常數的情形，卡拉比原先的猜想並不成立，後來我提出一個新猜想，