第六百四十章 蒙日－安培方程（偏微分方程）(第1/1頁)

常見於黎曼幾何的非線性偏微分方程。

是一個極為艱深而複雜的偏微分方程，叫作復的monge-Ampere方程。

魏爾說：“當時還沒有足夠的數學理論來攻克它。”

這個方程需要用動態圖才可以演示出來。

卡拉比說：“一片貼在固定鋼圈上的平坦塑膠布。假定這片塑膠布既沒有刻意拉緊，也不會太鬆，那麼當我們推擠這片塑膠布時，它所形成的曲面會怎麼彎曲或變化呢？如果是在中央處拉開，它會造成正曲率的向上隆起，這種蒙日—安培方程的解是“橢圓”型的。反過來說，如果塑膠布的中心向內彎扭，曲面會變成曲率處處為負的鞍形，而其解是“雙曲”型的。最後，如果曲率處處為零，則其解為“拋物”型。”

丘成桐知道，如果不管哪一種情形，要解的原始蒙日—安培方程都是一樣的，但是必須用完全不同的技巧來解。

而上述三種微分方程裡，我們分析橢圓型的技巧最為完備。橢圓型方程處理較簡單的靜止狀況，物體不隨時間或在空間中移動。這類方程用於描述不再隨時間變化的物理系統，例如停止振動、回覆平衡的鼓等。不僅如此，橢圓型方程的解也是三種裡最容易理解的，因為當把它們繪成函式時，看來是光滑的，而且儘管在某些非線性橢圓型方程中會出現奇點，但我們幾乎不會碰到棘手的奇點。

雙曲型微分方程描述的是像永遠不會達到平衡狀態的波與振動。和橢圓型不同，這類方程的解通常有奇點，因此處理起來困難許多。如果是線性的雙曲型方程，我們還可以處理得相當好（線性指的是當改變某一變數的值時，另一變數的值會成比例變化），但如果是非線性雙曲型方程，我們就沒有有效的工具來控制奇點。

拋物型方程則介於兩者之間，描述的是最終會趨於平衡的穩定物理系統，例如振動中的鼓，但因還未到達平衡狀態，因此必須考慮時間的變化。與雙曲型相比，這類方程較少出現奇點，而且就算有，奇點也會慢慢趨於平滑，因此就處理的困難度而言，也介於橢圓型和雙曲型之間。

然而，數學上的挑戰還不僅止於此。雖然最簡單的蒙日—安培方程只有兩個變數，許多方程則有更多變數。有些方程已超出雙曲的程度，有時稱為超雙曲型；關於這類方程的解，我們所知甚少。

卡拉比所說的：“一旦超出了熟悉的三種型別，我們就對方程的解毫無頭緒，因為在此並沒有物理世界的現象可資援引。”

由於這三類方程的難易度有所不同，迄今為止，絕大多數來自幾何分析的貢獻，都是關於橢圓型和拋物型的情況。

當然我們對三類方程都有興趣，而且雙曲型方程還有許多引人入勝的問題，像是完整的愛因斯坦方程。只要還有餘裕，數學家當然是非常想要解決的。