第六百三十四章 陳氏類(第1/2頁)

我們的最後兩片拼圖，陳氏類和黎奇曲率，是彼此相關的，它們是源自於幾何學家嘗試將黎曼面從復一維推廣到多維，並從數學上刻畫這些推廣結果之間差別的努力。

這把我們帶到一個重要定理：高斯—博內定理，它適用於緊緻黎曼曲面，以及其他任何無邊界的緊緻曲面。

“邊界”在拓撲中的定義很直觀：圓盤是有邊界的，亦即有明確界定的邊緣，而球面則沒有。在球面上，不管你朝哪個方向走，而且不管走多遠，都不會碰到或接近任何邊緣。

這個定理是在19世紀時由高斯和法國數學家博內（pierre bonnet）所提出的，它建立了曲面的幾何性質及其拓撲性質之間的關係。

高斯—博內公式是說，上述曲面的總高斯曲率（或高斯曲率的積分）等於2π乘以該曲面的“尤拉示性數”（Euler characteristic）。而尤拉示性數x（希臘字母chi）則又等於2-2g，其中g是曲面的虧格（也就是曲面的“洞”數或“把手”數）。舉例來說，二維球面沒有洞，所以它的尤拉示性數是2。在此之前，尤拉提出了另一條求任何多面體尤拉示性數的公式：x=V-E+F，其中V是頂點數，E是邊數，F是面數。以四面體為例，x=4-6+4=2，與球面的x值相同。一個立方體有8個頂點、12個邊和6個面，所以x=8-12+6=2，再次和球面相同。因為尤拉示性數只和物體的拓撲，而非幾何形狀有關，那麼這些幾何相異，但拓撲相同的物體有著相同的x值當然很合理。尤拉示性數x是空間的第一個主要的“拓撲不變數”，也就是在拓撲等價但外觀可能極為不同的各個空間上（例如球面、四面體和立方體），都能維持不變的性質。再回到高斯—博內公式。由此，二維球面的總高斯曲率是2πx2=4π。至於二維環面，因為它的x是0（2-2g=2-2=0），所以環面的總高斯曲率是0。把高斯—博內的原理推廣到更高維，就會把我們帶到陳氏類。

一個可賦向（或是有兩面）的曲面，拓撲上可由其尤拉示性數來描述。計算多面體的尤拉示性數有一條簡單的公式（多面體即是由平坦的面和直線的邊所構成的形體）。尤拉示性數x等於頂點數減邊數，再加上面數。對於本圖所示的長方體，其值為2。四面體的尤拉示性數也是2（=4-6+4），四角錐也同樣是2（=5-8+5）。因為這些物體都是拓撲等價的，所以它們理所當然有著相同的尤拉示性數2

陳氏類是由我的指導老師陳省身所發展的理論，是一種在數學上刻畫不同複流形的概略方法。簡單來說，如果兩個流形的陳氏類不同，它們就不可能相同；反之卻不一定成立：兩個不同的流形可能具有相同的陳氏類。

復一維的黎曼面只有一個陳氏類，即第一陳氏類，而對於這個情況，正好等於尤拉示性數。一個流形的陳氏類數目，視其維數而定，例如復二維的流形具有第一和第二陳氏類。至於弦論所關心的復三維（或實六維）流形，則有三個陳氏類。它的第一陳氏類為六維空間中的實二維子空間（子流形）各對應到一整數，其中所謂子空間是原空間的一部分形體，就像紙張（二維）可以擺在辦公室（三維）裡一樣。類似地，第二陳氏類為空間中的實四維子流形各對應一整數。第二陳氏類則為這個復三維（或實六維）的流形本身指定一個數字，也就是尤拉示性數x。事實上，對於任何復n維的流形，它的最後一個，亦即第n個陳氏類必定對應到流形的尤拉示性數。

但陳氏類究竟告訴了我們什麼？或者說，指定這些數字的目的何在？其實這些數對於子流形本身並沒提供多少資訊，但是對於整個流形，它們卻透露出許多重要的訊息。這在拓撲學是很常見的：當要了解複雜、高維的物體結構時，我們經常檢視此