第六百一十章 埃爾德什－格雷厄姆問題（數論）(第1/2頁)

公元前1650年左右的古埃及數學典籍《萊因德數學紙草書》，其中記錄了古埃及人如何將有理數表示為單位分數之和。

這裡有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36} 10個數字組成的一個數集，我們可以選擇其中的2、3、12、18、36，就能得到1\/2+1\/3+1\/12+1\/18+1\/36=1。

單位分數就是分子是1的分數，或者也可以說是正整數的倒數，它們是當時古埃及數字系統中唯一一類分數，他們需要用單位分數來表示其他更復雜的分數，比如將3\/4寫作1\/2和1\/4的和。

到了20世紀70年代，有關這類分數的問題再次引起了一些數學家的興趣。當時，數學家埃爾德什（paul Erd?s）和格雷厄姆（Ronald Graham）在探索想要設計出不滿足條件的整數集有多難，也就是說，一個整數集中不能有任何子集，其倒數之和等於1。

如果A是N的子集，A具有正密度，那麼存在有限的S是A的子集，使得其中數的倒數和為1。在此，數集A是自然數集的子集，無論你怎麼數下去，都存在一種非零的機率，會遇到集合A中的一個數字，那麼A就具有正密度。

猜想提出約半個世紀後，牛津大學數學家thomas bloom證明了它。

舉個簡單的例子，A是一個包含所有大於1的奇數的集合，它屬於自然數集的子集，並滿足正密度的條件，因為無論你數到10億還是100億，也一定會遇到奇數。然後，我們可以在A中找到有限子集S ={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有這些數的倒數相加恰好等於1。

這理解起來並沒有那麼困難，但證明它顯然就變成另一回事了。那就變成了一個大得多、複雜得多的問題。對不少數學家來說，似乎找不到什麼顯而易見的數學工具來解決它。

數學家Ernie croot，他解決了所謂的埃爾德什-格雷厄姆問題的著色版本。

這是一種更弱的證明。可以這麼理解，在著色版本中，整數被隨機地分類，指定放到不同顏色的桶中。猜想預測，無論這種分類中用到了多少個桶，至少會有一個桶包含一個倒數之和等於1的整數子集。

croot這篇發表於2003年的論文引入了來自調和分析的強大的新方法，那是一個與微積分密切相關的數學分支。

著色版本和密度版本非常相似，但它們在一個非常重要的方面卻有所不同。在著色問題中，整個數集A被分成了不同的“桶”，具體的分割方法並不重要。數學家要證明的是，有一個“桶”裡的數字滿足條件。這正是croot在論文裡構建的證明，表明了至少會有一個“桶”裡包含足夠多具有低素因子的數字，用數學術語來說就是光滑數（smooth number），從而滿足定理。

這可以看作證明的一條捷徑，但在密度版本中，這樣的捷徑並不存在。當bloom看到這篇證明後，卻認為這種方法要比人們普遍認為的更強，那實際上證明了密度問題的一個特例。bloom謙虛地表示，他所做的“只是又推了一下那扇已經開啟的門”。

粗略來說，先前的證明依賴於一類被稱為指數和的整數。指數和可以分成兩個部分，分別是優弧貢獻，也就是我們可以明確計算並且很大的部分，以及劣弧貢獻，也就是我們不知道如何計算，但能證明很小的部分。

先前證明的巧妙之處在於，croot想到了一種思考劣弧貢獻的新方法，把它變成了一類不同的問題。他沒有試圖計算數值，而是研究了這個集合中倍數是如何沿著數軸分佈的。

在此基礎上，bloom將