第五百三十七章 格羅滕迪克連續與離散的對偶性（代數幾何）(第1/1頁)

格羅滕迪克認為真正的數學家不是僅僅去破解什麼猜想，那樣只是區域性的，數學家應該解決大問題，那就是組建一種強大的東西，這個東西可以輕鬆的破解很多猜想。

格羅滕迪克有疑問：“為什麼數學中會有連續，會有離散。”

讓·庫朗說：“這不是很常見的事情嗎？”

格羅滕迪克說：“到我們這裡這個看似最常見的事情就很奇怪了，任何一個看似簡單的東西都是奇怪的。很多東西其實還會對代數理論大一統會起到阻礙作用。”

庫郎說：“如果要是真要這樣刨根問底，那世間的每個東西都會很困難，也許向你這樣的人反而會認為很簡單吧。”

格羅滕迪克說：“我跟你們一樣，也是一步步來的。我想說的師，自從我開始研究範疇論之後，我首先面臨的問題就是對偶的問題。我從尋來範疇眾，找到了6種對偶運算。”

庫郎說：“你說的對偶運算，是不是類似加和減對偶，乘與除對偶這個意思？”

格羅滕迪克說：“是的。範疇裡的對偶要豐富很多，其中有單射與滿射對偶，核與上核，始物件核終物件，內射物件與投射物件。”

庫郎說：“等等，你說的這些是對偶的？”

格羅滕迪克說：“是對偶，而且不僅僅是這樣，在範疇論裡這樣的對偶會讓一個概念變成兩個概念，這兩個概念如果不這樣說，你都不知道會有對偶這樣的關聯。”

庫郎驚駭的說：“那你的意思是，會讓很多看起來沒關係的兩個數學用這個對偶來聯絡？”

格羅滕迪克說：“你不覺得，數學種需要這樣的例子嗎？像你這樣的，天天大喊例子的人。”

庫郎說：“那能是什麼樣的對偶，莫非是數論和幾何圖形？”

格羅滕迪克說：“沒錯，這只是其中之一而已。”

為何代數簇與座標環一一對應，因為多項式環是多項式，

前面曾經談到在仿射代數簇和它的座標環之間有一一對應的關係，因此對仿射代數簇的幾何研究也就可以轉化為對相應的座標環的代數研究。

然而座標環是一種性質很好的環，它在環論中還有一個專門的名稱叫“-代數(-algebra)”。

由於不是每個交換環都可以成為仿射代數簇的座標環(例如整數環就是如此)，所以格羅騰迪克就想用任意的交換環來構造一種類似於仿射代數簇那樣的抽象的幾何物件，使得每一個交換環都可以成為這種抽象幾何物件的“座標環”。

大約在1957年左右，卡吉耶(cartier)建議用交換環的全體素理想的集合（稱為的“素譜”）來作為與對應的“幾何物件”，它是經典仿射代數簇的抽象推廣。

這個簡單的想法立即成為了格羅騰迪克重建代數幾何基礎的出發點。這是因為每個交換環的素譜連同它上面的結構層一起，都能夠組成一個環層空間(，)，這個環層空間就是最簡單的概形——“仿射概形(affine scheme)”。

這個仿射概形就是格羅騰迪克心目中的“抽象的幾何物件”。

一旦有了仿射概形，那麼對這種新的幾何物件的研究就能夠轉化為對任意交換環的代數研究，這就將極大地拓展這種新幾何的適用範圍，實現人們長久以來夢寐以求的將代數幾何與代數數論統一起來的夢想。

概形就是區域性同構於仿射概形的環層空間，或者也可以將概形粗略地理解為是將一些仿射概形經過適當的“貼上”後而得到的。

由於仿射概形是仿射代數簇的推廣，因此很明顯：概形確實是經典代數簇的抽象推廣。