第五百九十七章 扎里斯基拓撲（概型）(第1/3頁)

扎里斯基早年在基輔大學學習時，對代數和數論很感興趣，在義大利深造期間，他深受三位義大利卡斯泰爾諾沃、恩裡克斯、塞維裡在古典代數幾何領域的深刻影響。

義大利幾何學者們的研究方法本質上很富有“綜合性”，他們幾乎只是根據幾何直觀和論據，因而他們的證明中往往缺少數學上的嚴密性。

扎里斯基的研究明顯帶有代數的傾向，他的博士論文就與純代數數學有著密切聯絡，精確地說是與伽羅瓦理論密切聯絡。

當然也就激發了他在研究方程的時候，也會用到環論這樣的思想。

取得博士學位後，他在羅馬的研究工作仍然主要是與伽羅瓦理論有密切聯絡的代數幾何問題。

一九三七年扎里斯基的研究發生了重要的變化，其特點是變得更代數化了。

他所使用的研究方法和他所研究的問題都更具有代數的味道〔這些問題當然仍帶有代數幾何的根源和背景〕。

扎里斯基對義大利幾何學者的證明感到不滿意，他確信幾何學的全部結構可以用純代數的方法加以重新建立。

在一九三五年左右，現代化數學已經興盛起來，最典型的例子是諾德與範德瓦爾登有關論著的發表。

範德瓦爾登從這個觀點出發把代數幾何抽象化，但是隻取得了一部分成就，而扎里斯基卻獲得了巨大成功。

扎里斯基開始研究如果方程在座標系裡有一種圖形，能不能從方程中翻譯出拓撲學的一些性質呢？

對於這個方程來說，也有一種拓撲學的那種洞。

而這個洞，必須是一種無窮大那樣的奇點。

最簡單的奇點是通常二重點，還有尖點，迷向點，AdE奇點（確切地說這是曲面奇點，但是它可以對應成曲線奇點）

他的博士論文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分類，這裡面f和g是多項式，x可以解為線性引數t的根式表示式。扎里斯基說明這種方程可分為五類，它們是三角或橢圓方程。

AdE奇點就是代數曲面上的有理二重點，它可以透過奇點解消的方式爆發成為AdE曲線。

AdE奇點有五種型別：

A_n型：對應方程z^2=x^2+y^n

d_n型：對應方程z^2=y(x^2+y^)（n≥4）

E_6型：對應方程z^2=x^3+y^4

E_7型：對應方程z^2=x(x^2+y^3)

E_8型：對應方程z^2=x^3+y^5

任何AdE奇點都是超曲面奇點，也是迴圈商奇點。它們的有理典範除子是零，重數是2。

除此以外有無窮大點，不連續的拐折點。

為了嚴格下定義，扎里斯基認為方程等於0，x一階導等於0，y一階導為0，就可以稱之為奇點了。

如果f(x，y)的泰勒展開中不包含一次項的話，否則就稱該點是光滑點。

換句話說，我們冪級數展開f(x，y)=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次項，如果a和b不全為零，那麼該原點就稱為c的光滑點，否則就稱為奇點。

一個帶有奇點的平面曲線 c 必定是某個射影空間中的光滑曲線 c'到射影平面的投影。 找出這樣的光滑曲線 c'的過程，稱為 c 的奇點解消或者正規化。

曲線奇點有很一些有趣的不變數來刻畫，比如它的重數（就是泰勒展開式中最低項的次數），區域性分支數，幾何虧格，milnor數等等。

這些不變數之間有著一定的聯絡，對它們的研究屬於奇點拓撲這一分支。

扎里斯基對萊夫謝茨說：“我聽了