第四百九十九章 KAM定理（非線性力學）(第1/2頁)

柯爾莫哥洛夫對阿諾德說：“我開始想關於n體力學的問題，我們未來在研究動力學系統的時候，必須要面對這個嚴肅的問題。”

阿諾德說：“n體問題屬於不可積分的難題，只能尋求級數解。換言之，這類系統無法根據初始條件求出描述系統未來確定性行為的精確解。力學系統一般說來不可積分，可積分系統只是極少的特例，並指出共振項可能影響級數的收斂性。”

柯爾莫科洛夫說：“我們要研究弱不可積系統問題。”

阿諾德說：“哈哈，柿子撿軟的捏。”

柯爾莫哥洛夫說：“在擾動較小也可以說非線性程度比較小、V足夠光滑、離開共振條件一定距離等三個條件下，對於絕大多數初始條件，弱不可積系統的運動影象與可積系統基本相同。”

阿諾德說：“在滿足一定條件下近可積系統絕大多數解是規則的，其相軌跡被限制在一個由n個運動不變數決定的n維環面上，該環面與可積系統的環面相比有微小的變形，但拓撲結構不變，稱為不變環面；確切些說，相空間分成大小兩組體積非零的區域。”

柯爾莫哥洛夫說：“在大區域中仍然保持著與可積系統類似的環面結構；也有一些“隨機”解，但被限制在環面之間，成為“隨機”層。”隨機二字打上引號表示並非真正的隨機，而是因為系統的性態隨初值的敏感而呈現混亂，這仍然是混沌現象的決定性的表現

阿諾德說：“因此，近可積系統與可積系統的解相差不多，這時確定性與“隨機性”共存。”

柯爾莫哥洛夫說：“當然，隨著攝動的加大，上述條件受到破壞，我說的這個不再適用。分隔相鄰“隨機”層的環面將逐個破裂，“隨機”層也相應變大，這時系統的所有可能解中大部分都是混沌解。”

阿諾德說：“軌道的不穩定性是力學系統運動中出現隨機性、不可預言性和混沌的原因。”

Kolmogorov 在1954年世界數學家大會上指出：非退化的可積系統在保守的微小擾動後，雖然某些不變環面一般說來會被擾動破壞掉（稱為共振環面），但仍會有相當多的環面被儲存下來，也就是說整個相空間中仍然有許多的相流的運動是非常簡單的（直觀地，可以想象二維平面雖然沒有被同心圓分層，但仍有許許多多的同心圓儲存了下來，每個圓上的相流都共扼於一個旋轉，只是相鄰的兩個同心圓之間相流的運動會比較複雜一些）。

阿諾德後來與德國數學家moser也開始通訊討論這個問題。

moser說：“不可積的哈密頓系統又是什麼樣子？”

阿諾德說：“直到現在也不完全清楚，也許永遠也搞不清。但是由已知的東西出發探索未知的方法提醒我們應該先去了解充分接近可積的系統是什麼樣子。”

moser說：“我們現在準備試圖證明這個定理。”

阿諾德說：“有什麼好的辦法碼？”

moser說：“用牛頓迭代的辦法了。就是找一系列的典則變換，不破壞哈密頓方程的式，一步步地變換近可積的系統使之越來越靠近一個可積系統，只要對引數的大部分點能做到就行。由於在迭代過程中會出現所謂的“小分母”，用通常的牛頓迭代法無法保證最終無窮多步變換的複合收斂，但利用改進的牛頓迭代方法克服了小分母帶來的麻煩，從而完成了定理的證明。”

阿諾德說：“這個辦法不錯。”

moser說：“Sigel也對這個工作感興趣，他在考慮圓周對映的線性化時，也曾提出過類似的證明思想，我在降低該理論對可微性的要求上又作出了一些重要的工作。”後來，John Nash 在他證明有關黎曼嵌入的論文中，也用到了類似的迭代方法（當然是獨立完