第一百三十一章 泰勒公式（微積分）(第1/2頁)

18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（brook taylor），於1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生。

1701年，泰勒進劍橋大學的聖約翰學院學習。

1709年後移居倫敦，獲得法學學士學位。

1712年當選為英國皇家學會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發明微積分優先權爭論的委員會。並於兩年後獲法學博士學位。

從1714年起擔任皇家學會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務。

1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。

泰勒以微積分學中將函式展開成無窮級數的定理著稱於世。

泰勒在無聊的玩GeoGebra，裡面有個公式:

Y=A0+A1x+A2x^2+A3x^3+A4x^4+A5x^5+A6x^6+A7x^7+A8x^8+A9x^9

然後無聊的撥弄著滑動條來隨意改變這些個A值。螢幕上函式影象不斷變化著，但那線條總是歪七八扭，不聽使喚。他認真了起來，擴大了A值的範圍和精度，逐漸找到規律之後，他已經能夠調出劍尖，牙齒，貓耳等影象。

他不斷增加項數，調整引數，他發現增加的項數越多，他就越能掌控影象的變化。

他像扭鐵絲似的上下彎折著曲線，無意中調出了一段波浪形的影象，看著似乎挺眼熟……

——這不是 sin 函式嗎！

他抑制不住自己的興奮，趕緊輸入了標準的 sin 函式進行對比，同時繼續調整多項式，使這個山寨函式儘可能地貼近正品。

他仔細端詳著，單看眼前這一段，簡直可以以假亂真，不過越到後面，分歧也就越明顯了。

他猛然意識到：“我能夠控制多項式畫出任意影象！甚至把它偽裝成其他函式！“

但是他很快冷靜了下來，問了自己一連串的問題：所謂的任意，可以是無限制的任意嗎？我能否完美地“偽裝“出一個目標函式？如果不能，那又能夠偽裝到何種程度？擺在眼前的具體問題就是，能否“偽裝“出一個完美的 sin 函式？

他決定一探究竟。如果存在某 n 次多項式等於 sin(x);則其導函式也等於 sin(x)的導函式；它的二階導也等於 sin(x)的二階導；它的三階導也等於 sin(x)的三階導；

……它的 n 階導也等於 sin(x)的 n 階導。

可是，每求導一次，多項式就會降一階。

求到 n 階導不就變成常數了嗎？

再導不就歸零了嗎！

而 sin(x)可以無窮階求導，所以無論 n 有多大，都不可能完美偽裝出 sin 函式。

除非…… n 為無窮大？

這就引出了下面的問題：這樣的偽裝可以到達何種程度？

首先，經過調整，可以使二者的起點一致；然後，可以調整使二者在該點處斜率一致；再然後，可以調整該點處的二階導數一致；再然後，可以調整該點處的三階導數一致；

……總之，我們總可以使該點處 n 階導數一致。

而 n 可以無限遞增下去，我們的“偽裝“就可以無限逼近目標函式。

——埃勒裡·泰勒·奎因看著影象的變化，他不禁把那個起點當成了運動的質點，斜率即質點的速度

……他忍不住做起了一個思想實驗：沒有其他外力，沒有初速度的條件下，質點只能靜止在原地，毫無自由可言。

給質點一個初速度，我們可以使質點單向勻速運動；若再給定一個加速