第一百一十九章 斯特林數(第1/1頁)
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Stirling數的概念由J.Stirling於1730年提出，並在他的著作《methodous differentialis》中首次使用。
1958年，Riordan首先應用s(n，k)和S(n，k)來分別表示第一類Stirling數和第二類Stirling數。
1770年，L.Lagrenge推匯出了第一類Stirling數的遞推關係和數論的性質。
而p.S.Lapace和A.cauchy則在第二類Stirling數的逼近理論上取得了一些成果。
1933年，ch.Jordan在他的一篇論文中對Stirling數做了徹底的闡述，並給出了一些Stirling數的重要性質。
第一類Stirling數表示將 n 個不同元素構成m個圓排列的數目。
第一類Stirling除了表示可以表示升階函式和降階函式的係數之外還可以應用到一些實際問題上。例如很經典的解鎖倉庫問題。
問題說明如下：有n個倉庫，每個倉庫有兩把鑰匙，共2n把鑰匙。同時又有n位官員。問如何放置鑰匙使得所有官員都能夠開啟所有倉庫？（只考慮鑰匙怎麼放到倉庫中，而不考慮官員拿哪把鑰匙。）那如果官員分成m個不同的部，部中的官員數量和管理的倉庫數量一致。那麼有多少方案使得，同部的所有官員可以開啟所有本部管理的倉庫，而無法開啟其他部管理的倉庫？（同樣只考慮鑰匙的放置。）
第一問很經典，就是開啟將鑰匙放入倉庫構成一個環：1號倉庫放2號鑰匙，2號倉庫放3號鑰匙……n號倉庫放1號鑰匙。這種情況相當於鑰匙和倉庫編號構成一個圓排列方案數是（n-1）!種。
而第二問就對應的將n個元素分成m個圓排列，方案數就是第一類無符號Stirling數Su（n，m）。如要要考慮官員的情況，只需再乘上n!即可。
第二類Stirling數主要是用於解決組合數學中的幾類放球模型。主要是針對於球之前有區別的放球模型：
n個不同的球，放入m個無區別的盒子，不允許盒子為空。