第五百三十六章 格羅滕迪克概形（代數幾何）(第3/3頁)

格的“一般點(generic point)”、“基變換(change of bases)”、以及“冪零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，並且可以用精細的抽象代數的方法來研究幾何物件的各種抽象的“幾何性質”，這樣就為解決一大批重要的經典數學問題開闢了道路。

同樣在概形上，我們可以做所有的在經典代數簇上曾經做過的事情，例如可以定義廣義的“纖維叢”(即模層)、“除子”和“微分”，可以有層的上同調理論(包括Serre對偶定理等)，可以建立嚴格的代數簇分類理論和黎曼-羅赫定理，以及建立嚴格的相交理論(包括周環和陳類)等。

在概形上也能夠做以前根本無法做到的事情，例如可以構造模空間的嚴格理論，尤其是可以建立能夠應用於數論的“算術代數幾何”理論等。

後來的歷史發展證明，當經典代數幾何的邏輯基礎問題被徹底解決後，代數幾何便立即取得了巨大進展，並因此促進了20世紀後半葉現代數學的大發展。

下面列舉一些現代數學中因代數幾何的進步而獲得的重大成果，它們分別是：德利涅(deligne)證明了數論中韋依猜想、廣中平佑解決任意維數代數簇的奇點解消問題、芒福德(mumford)建立了一般模空間的理論、法爾廷斯(Faltings)證明了數論中的莫德爾(mordell)猜想、森重文完成了3維代數簇分類、懷爾斯(wiles)證明了數論中著名的費馬大定理以及吳寶珠證明了朗蘭茲(Langlands)綱領中的基本引理等。

不僅如此，伴隨著這些重大問題的解決過程，同時又出現了一大批全新的數學研究領域，其中尤其令人想不到的是概形理論對於數學物理研究的巨大推動作用，而在量子場論中出現的許多新思想（例如弦理論、映象對稱和量子上同調等）反過來又促進了對於代數簇的拓撲和計數幾何的研究。

人們常說格羅滕迪克“有一種關於數學可能是什麼的高屋建瓴般的觀點”。

數學家巴斯(bass)就曾評價：格羅滕迪克用一種“宇宙般普適”的觀點改變了整個數學的全貌。我們不妨可以簡單地將代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科。特別是從代數幾何中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經滲透到了幾乎所有的現代數學各主要分支學科中。