第三百四十一章 龐加萊猜想（拓撲學）(第1/3頁)

龐加萊想平面之間的等價性還是很容易的。

一個皮球，是一個面組成了，可以平展成一個面的形狀。

這是讓一個二維的面從三維空間中轉化成立二維空間。

如果是四維空間的皮球，是否能夠平展成二維空間的平面？

一般人粗略的一想，還以為可以。

但是龐加萊敏銳的洞察到，四維空間中的皮球，不是一個二維的面。

或許是個三維的體，搞不好就是三維空間的實心球體。

這個想法突破了一般人的認知，但在數學是是輕鬆可以推論的。

只是這需要去證明才行。

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拓撲”跟“群”一樣也是一種對結構的描述，但是它不再專注於結構的外觀、尺度，而只關心結構的性質，即不再進行定量研究轉而進行定性研究，這是數學發展史上又一次偉大的突破。

比如我們可以把一個癟了的球、一個正方體、一個十二面體都認為具有同樣的拓撲，因為這些結構在三維空間中都是封閉的，它們都可以透過連續變換變成一個球。你可以想象這些物體都是橡皮做的，只要充滿氣，就能把它們漲成完美的球形，在拓撲學中我們說這些結構與球是同胚的。具有同胚拓撲結構的空間幾何體在遵循“不撕裂不扯破”的原則下能夠任意相互變換。所謂“不撕裂不扯破”就是不破壞構成結構體的各點之間的關係，比如A點和b點是相鄰的，在變換之後A點與b點仍然是相鄰的。有一種結構，無論你用同樣的方式怎麼努力，也不能變成球形，那就是輪胎。這是因為輪胎與球具有不同的拓撲結構，球是單聯通的，而輪胎是雙聯通的。

尤拉公式揭示了拓撲性質與對稱性之間的聯絡，在單聯通多面體結構，只能產生5種完美對稱，我們真實的宇宙一樣具有某些拓撲性質，這些拓撲性質也同樣對對稱性有約束，因此才形成了我們所見的宇宙。

克萊因瓶

它和莫比烏斯帶非常相像，實際上是莫比烏斯帶的三維擴充套件，但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。我們可以想象將兩個相反的莫比烏斯帶的邊縫合在一起，就構成了一個克萊因瓶。莫比烏斯帶必須跨越到3維或更高維的空間才得以形成，克萊因瓶則跨越到於四維或更高維空間中才能製造出來，它在我們的三維空間中是不可能存在的，它實際上是在四維空間中將三維空間的正反兩面扭曲連線到一起。

拓撲學上最傳奇的故事莫過於龐加萊猜想了。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球，即任何單聯通的三維封閉流形都同胚於三維球面。後來這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”，即“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面”。前面我們已經講過同胚是指透過不撕裂不扯破的連續變換可以變為同樣形狀的性質，同倫則是比同胚更寬鬆的變換，比如我們可以把一個三維的球壓扁在一張紙上變成一個二維的圓盤，然後在二維的圓盤上長出幾根刺，這個圖形與原來三維的球都是同倫的。龐加萊猜想其實意味著在我們的三維空間中的任何封閉物體，不管是一塊磚頭，一個人，還是一臺拖拉機，只要它是封閉的，在四維空間中它就必然能連續變換成四維空間中的三維球面。換句話說，正如三維球體的邊界是一個二維封閉球面一樣，四維球體的邊界其實就是三維的封閉球面，這個球面去掉一個點展開來就是整個三維空間，任何在這個三維空間中封閉的物體都可以透過拉伸、彎曲、延展變成一個三維的封閉球面。類似三葉結這樣的結構在三維空間中當然不能變成一個球，但是在四維空間