第六百六十九章 Frankl的並封閉集合猜想(第1/2頁)

對於一個包含至少2個集合的、對並運算封閉的有限集合族，至少存在一個元素，使得它在至少一半的集合裡出現過。

我們來解讀一下這個猜想說的啥。

首先集合，就是包含了一系列元素的合集，這裡面的元素既可以是數字，也可以是變數等。

例如這是一個我們常見的數集，而且是有限的（只包括3個元素）：{1，2，3}

至於無限數集，就像是自然數集、有理數集、整數集這種由無限個元素組成的集合。

當然，集合也有集合，它們組合起來，就可以被叫做集族，例如下圖中F就是一個集族：

在這些集族中，有一類特殊的集族對並運算封閉。

對集族中的集合而言，並運算就是對兩個集合求並集；至於並運算封閉，即是指在對任意兩個集合進行並運算後，其結果仍然在這個集族中。

以下面這個集族為例：{1}{1，2}{1，2，3}{1，2，3，4}

無論是對{1}、{1，2}求並集，還是對{2，3，4}、{1}求並集，還是對{1，2}、{2，3，4}求並集……任意兩個集合求並集，其結果都會在這個集族中。

所以，上面這個集族就符合並封閉集合這一要求，而並封閉猜想也正是基於此而提出。

值得注意的是，這一猜想中的“一半”是緊緻的，畢竟對於任何一個集合的子集族，所有的元素恰好在一半的集合裡出現過。

它於1979年被一個叫péter Frankl的數學家提出，所以也一度被叫做Frankl猜想。

看起來似乎不難，然而到實際解決時，一眾數學家才發現這並不簡單。

達特茅斯學院數學教授peter winkler曾經在1987年就這個猜想給出尖銳的評價：

並封閉集合猜想確實很有名，除了它的起源和它的答案。

為了解決這個問題，數學家們也已經嘗試過不少方法。

例如有人試著給猜想加上一些限制條件，讓它在這些情況下成立。

像是將它和圖論中的二分圖（bipartite Graph）聯絡起來，證明具備其中某種性質的集族，在這個猜想的條件下成立。

又或是給其中的元素加以限制，再加以證明……

bUt，無論是哪種方法，距離真正需要證明的猜想都還差不少距離。

來自哥倫比亞大學的助理教授will Sawin對此評價稱：

它看起來似乎是個不難解決的東西，畢竟長得和那種“容易解決的問題”很像。

然而，如今卻沒有任何一個證明能真正搞定它。

問題就這樣進度緩慢，直到2022年秋天，谷歌研究員Justin Gilmer藉著朋友結婚的契機，回到了羅格斯大學校園。

Gilmer回母校的時間是2022年10月，此時距他畢業離開數學學術圈，已過去7年。這些年來，他自覺無心專注純數學領域，轉而自學程式設計，投身了It行業。

此次返校，他拜訪了導師薩克斯，還四處轉了轉。

就在散步中，他突然回憶起——當年自己徘徊於校園小徑，苦苦思索的一個數學問題：

沒錯，就是那個對“並封閉集合猜想”的證明。

讀博期間，Gilmer絞盡腦汁，花了一整年時間卻毫無進展，只是搞明白了為什麼這一看似簡單的問題難以解決。

為此，他還去找過導師薩克斯。但導師也曾在該問題上停滯不前，因而他既不看好Gilmer的研究，也不願重新碰這一領域。據Gilmer回憶，當時導師差點把他趕出房間。