第三百九十六章 伯恩賽德的表示理論（群論）(第2/2頁)

減乘除模之外的新的運算方式呢。”

伯恩賽德說：“表示理論根據一定的規則，為群組中的每個元素分配一個矩陣，從而在群組理論和線性代數之間架起了一座橋樑。例如，必須將群組中的單位元素分配為單位矩陣。分配還必須尊重群組中元素之間的關係。如果一個反射乘以給定的旋轉等於第二次反射，那麼分配給第一次反射的矩陣乘以分配給旋轉的矩陣必須等於分配給第二次反射的矩陣。符合這些要求的矩陣集合稱為群組的表示。該表示提供了一組簡化的影象，就像黑白影象可以作為原始彩色影象的低成本模板。換句話說，它“記住”了關於這個群組的一些基本但重要的資訊，卻忽略了其他的資訊。數學家的目標是避免糾纏於一個群組的全部複雜性；相反，他們透過觀察它在轉化為簡化的線性變換格式時的行為來了解它的性質。”

喬迪說：“一個群組幾乎總是可以以多種方式表示。例如，S_3在使用實數填充矩陣時有三種不同的表示：簡單表示、反射表示和符號表示。”

伯恩賽德說：“我們進下來的工作就是將給定群組的表示形式整理成一個表，稱為字元表，該表總結了有關組的資訊。行引用每個不同的表示，列指的是這個表示中的重要矩陣：分配給組中的單位元素的矩陣，以及分配給組中“生成”元素的矩陣，這些元素一起產生所有其他元素。表中的條目是一個稱為每個矩陣的“trace”的值，透過對從矩陣左上角到右下角的對角條目求和來計算。字元表提供了該組的簡化圖。其中的每個表示提供的資訊略有不同。數學家將各種觀點結合成一個整體印象。”

喬迪說：“你有很多不同的表徵，它們記住不同的東西，當你把所有的資訊放在一起時，你就能在某種意義上看到你的團隊的這種萬花筒般的畫面。”

伯恩賽德說：“當然，我們肯定就是要把問題簡化，所以一些最有效的表示法既不涉及實數也不涉及複數。相反，他們使用的是帶有“模組化”數字系統的條目的矩陣。這是時鐘算術的世界，在這個世界裡，7 + 6環繞12小時的時鐘等於1。具有相同字元表，使用實數表示的兩組可能具有不同的字元表的使用模組化表示，從而允許你將它們區分開來。”

自一個多世紀以來，“表示理論”一直是許多最重要的數學發現的關鍵成分。然而，它的用處在一開始還是很難被察覺。

今天，“表示理論”是許多數學領域的中心工具（代數，拓撲，幾何，數學物理和數論等）。這種表示理論的哲學在20世紀下半葉已經吞噬了大量的數學。

表示理論在安德魯·懷爾斯1994年對費馬最後定理的里程碑式證明中發揮了重要作用。問題是關於a^n + b^n = c^n這種形式的方程是否存在整數解。

懷爾斯證明當n大於2時，不存在這樣的解。然而，直接證明它的不存在太困難了。

相反，懷爾斯使用的是一組模組表示，如果群組存在的話，這些表示就會被附加到組上。他證明了這一族模表示不存在，這意味著群組不存在，這意味著解也不存在。

這也就意味著，在威廉·伯恩賽德認為表徵理論無用的100年後，它成為了20世紀最著名的證明理論的關鍵組成部分。

溫斯坦說:“我無法想象費馬最後定理的任何證明，都與表示理論無關。”