第三百九十六章 伯恩賽德的表示理論（群論）(第1/2頁)

英國數學家威廉·伯恩賽德在講一些數學問題的時候，經常把表示理論這樣的詞說出來。

喬迪·威廉姆森說：“你一直說表示理論，這樣的詞，這是你的口頭禪，還是一個數學理論。”

伯恩賽德說：“是一個理論。”

喬迪懷疑的問到：“表示的是什麼？”

伯恩賽德說：“就是一種是一種把複雜的事物用較簡單的事物‘表示’的方法。”

喬迪說：“我問的具體的是什麼？是群？”

伯恩賽德說：“即使是群也有很多中不同的表示呢？”

喬迪嘆氣說：“我試著猜猜，比如用不可約群的組成來表示任何一個群這一型別的對吧？”

伯恩賽德說：“這是其中之一，複雜的物件通常是數學物件的集合，比如數字或對稱性，它們彼此之間有著特殊的結構關係。”

喬迪說：“聽起來不像是新東西，就是一個東西找基本單位而已。”

伯恩賽德說：“在1897年的時候，我覺得這種非正統的觀點根本不會產生任何新結果。我只是在用矩陣的方法表示一切，畢竟數學家基本上知道關於矩陣的一切。它是為數不多的被完全理解的數學科目之一。而且他完善到可以表示任何一種東西。”

喬迪說：“可問題是，關於你說的表示理論，研究這個問題是否合理，現在還不清楚。”

伯恩賽德說：“這種問題讓人難以察覺，但是隨著數學的深入發展，肯定越來越重要。比如群組很重要，我們要把它們表示出來，而比較簡單的物件是稱為矩陣的數字陣列，它是線性代數的核心元素。群組是抽象的，通常很難掌握，而矩陣和線性代數是基本的。要了解如何用矩陣表示群組，有必要依次考慮每個物件。”

喬迪說：“恩，比如李群的表示就需要這樣。”

伯恩賽德說：“舉個粒子，考慮一個等邊三角形的六種對稱性：兩個旋轉對稱，120度和240度，三種反射對稱，從每個頂點繪製的線穿過對邊的中點，一個恆等對稱，對三角形不做任何改變。這六種對稱形成了一個封閉的元素宇宙，也就是一個群組，它的正式名稱是S_3。它們組成了一個組，因為您可以按任意順序將任意數量的它們應用到三角形中，並且最終結果將與僅應用一個對稱性相同。例如，先反射三角形，然後將它旋轉120度，重新排列頂點，就像你僅僅執行了一個不同的對稱變換一樣。數學家將兩種對稱的結合稱為合成：一組反射與另一組旋轉的一個組合產生第三組，稱之為不同的反射。你可以像數學家一樣，把合成看作是乘法運算。如果考慮非零實數，這是最容易看出的，它們也構成了一組。實數有一個單位元素，用數字1。任何與1組合或乘以1的實數保持不變。你也可以乘任意實數的組合，以任何你想要的順序，乘積總是一個實數。數學家們說，實陣列在乘法下是“封閉的”，這意味著你不會僅僅透過元素的乘法就離開這個實數叢集組。”

喬迪說：“要按照你說的那個例子，李群包含無限多個元素，而不是六個元素。”

伯恩賽德說：“沒錯，要解決一個重要的問題，往往需要理解與之相關的特定群組。但是大多數群組比等邊三角形的對稱群組更難理解。我們不可避免要面對表示理論的領域，它把有時神秘的群組的世界轉換成充分約束的線性代數領域。”

喬迪說：“是的，它們編碼質數、幾何空間和幾乎所有數學家最關心的東西的資訊。”

伯恩賽德說：“只不過你要用矩陣，也就是線性代數來表示這些，裡面就會出現擴大、平移、反轉、剪下、選擇和反射這樣的詞彙。這些就相當與我們數學中的加減乘除這樣的東西一般。”

喬迪說：“我剛剛想多了，還以為你找到你加