第六百零九章 最脆弱的素數（數論）(第1/2頁)

1978年，數學家發現了一種十分“脆弱”的素數，任意改變其一位數就會變成合數，它們被稱為“易損素數”。

近期，數學家找到了更多的“易損素數”，而這一概念也被再一次擴充套件……

讓我們來看看以下幾個數字，試試看能否發現它們的特別之處：、、。

你可能會注意到它們都是素數（只能被自己和1整除），但其實這幾個數的不尋常之處遠不止如此。如果我們選取這幾個數字中的任意一位進行更改，新得到的數字就成為了一個合數，比如將中的1改成7，那麼得到的數字就可以被7整除，改成9，則可以被3整除。

這些數字被稱為“易損素數”，它們是相對較新的數學發現。1978年，

數學家默裡·克拉姆金（murray Klamkin）提出了這一類素數的猜想，之後迅速得到了有史以來發表論文數量最多的數學家保羅·埃爾德什（paul Erd?s）的回答，他不僅證明了易損素數確實存在，而且證明了它們的數量是無限的。後來，其他數學家進一步擴充套件了埃爾德什的結果，其中就包括菲爾茲獎章得主陶哲軒，他在2011年的一篇論文中證明了易損素數之間是呈“正比例”的。這意味著，隨著素數本身變大，連續兩個易損素數之間的平均距離保持穩定。也就是說，易損素數並不會變得越來越稀少。

在近期發表的兩篇論文中，南卡羅來納大學的邁克爾·菲拉塞塔（michael Filaseta）更進一步地闡述了這一觀點，並提出了一類結構更為精妙的易損素數。

他受到埃爾德斯和陶哲軒工作的啟發，設想將一個無限長的前導零串作為素數的一部分，就像數字53和…0000053的值是一樣的，那麼如果改變一個易損素數前無限的零中的任意一個，素數會變合數嗎？菲拉塞塔假定這些數字是存在的，並將其稱為“廣義的易損素數”。

2020年11月，他與研究生耶利米·索斯威克（Jeremiah Southwick）共同發表了一篇論文來探究這些數字的性質。這項結果得到了喬治亞大學數學系教授保羅·波拉克（paul pollack）的盛讚。

顯而易見，這樣的數字比原來的易損素數更加難找。波拉克說：“是一個易損素數，但並不是一個廣義上的易損素數，因為如果我們把…000變為…0，得到的並不是合數，而是另一個素數。

事實上，菲拉塞塔和索斯威克找遍了1 000 000 000以內的所有整數，也沒有在十進位制下找任何一個廣義的易損素數。然而，這並沒有阻止他們繼續尋找的腳步。

經過不懈的探索，他們證明了這樣的數字在十進位制的情況下確實是可能存在的，而且還會有無窮多個。更進一步，他們還證明了廣義的易損素數同樣是呈正比例的，就像陶哲軒的結論那樣。之後，在索斯威克的博士論文中，他在2、9、11和31進位制上獲得了相同的結果。波拉克對這些發現印象深刻，他說：“對於這些數字，你可以做無限多可能的改變，然而不管你做哪一個改變，你得到的始終是一個合數。”

證明過程主要依靠兩種工具，第一種被稱為覆蓋同餘（covering systems），是由埃爾德什在1950年發明的，目的是解決一個數論中的問題。索斯威克說：“覆蓋同餘能夠提供大量的分組，同時保證每個正整數至少在其中一個分組中。”例如，如果將所有正整數除以2，我們就能得到兩個分組：一組偶數，一組奇數。這樣即可“覆蓋”所有的正整數，而在同一組內的數字則被認為彼此是“一致”的。當涉及的數字量十分大時，也就是面對尋找廣義易損素數時，情況會顯得更為複雜。我們需要更多的分組，大約個，在這些分組內的每一個素