第五百三十五章 範疇論和函子（範疇）(第1/2頁)

1945年。

塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在研究拓撲學裡的同調論，引進了範疇論。在同態（具有幾何直觀）轉化成同調論（公理化方法）的過程中起了重要作用。不同的“拓撲”問題可以轉換至通常較易解答的“代數”問題之上。

在拓撲空間上如基本群或基本群胚等基本的架構，可以表示成由群胚所組成的範疇之間的基本函子，而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。

桑德斯·麥克蘭恩說：“物件與物件之間不是孤立的，而是具有許許多多的“聯絡”的。但是“聯絡”是一種空泛的詞語，它既可以表示物件與物件之間所有聯絡的集合，也可以表示物件與物件之間所有聯絡之中的某一條聯絡。為了使得描述的物件不那麼空泛，我們用專有名詞“態射”來指代物件與物件之間所有聯絡中的某一條聯絡。”

塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆物件，以及物件之間的所有態射所構成的一種代數結構，便稱之為“範疇”。範疇可以看作集合的更高階產物，因為集合和範疇都含有許多的物件，但集合不強調態射，範疇強調態射。範疇本身也可以看作一個物件，所以範疇與範疇之間也會存在態射，範疇和態射又可以構成新的範疇。”

烏拉姆說：“1930年，波蘭也有過類似想法，主要是bourbaki總結了三種基本數學結構，範疇論將這三種數學結構歸結為一種。對數學結構可以統一化描述。”

桑德斯·麥克蘭恩說：“態射也可以看成一種物件，所以態射之間也會存在態射。而物件在某種程度上也可以看成一種態射，所以事實上，物件和態射其實是一種東西。這句話不理解沒關係，已經超越了範疇論的內容。”

塞繆爾·艾倫伯格說：“一堆物件，以及物件之間的所有態射所構成的一種代數結構，便稱之為“範疇”。範疇可以看作集合的更高階產物，因為集合和範疇都含有許多的物件，但集合不強調態射，範疇強調態射。範疇本身也可以看作一個物件，所以範疇與範疇之間也會存在態射，範疇和態射又可以構成新的範疇。”

阿諾德打斷道：“那範疇與範疇之間有對映嗎？”

塞繆爾·艾倫伯格說：“範疇與範疇之間的對映稱之為“函子”。對映是一種特殊的態射，所以函子也是一種態射。我們可以利用範疇和函子構建一種新的範疇。”

阿諾德聽完以後有些懵。

桑德斯·麥克蘭恩說：“而函子本身也可以看成一種物件，所以函子之間也會存在態射。這種函子之間的態射我們稱之為自然變換。”

柯爾莫哥洛夫實在是聽不下去了，直接高喊：“先等一下，你們這是在鬧什麼？我覺得你們創造數學符號和數學名詞的時候非常隨便和混亂。在我學哲學史的時候有一個非常重要的思路，就是任何一種理論都是要解決一個特定的問題。如果沒有這個問題，這一理論就毫無意義。因此在說明一種理論的第一件事，應當是說明這個理論要解決什麼問題。你們這些人講了許多定義，但是沒有“問題”。”

塞繆爾·艾倫伯格說：“我這是個十分有用的東西，範疇論直觀，更容易理解。是以公理集合論定義，所以都是集合論語言，很冗長。集中使用在代數拓撲，代數幾何，代數幾何子領域的非交換幾何，代數數論。理論物理以來代數幾何中非交換幾何，所以也用範疇論表示。”

柯爾莫哥洛夫搖搖頭說：“僅僅是一個哲學概念，不會很好的精確解決問題。”

阿諾德說：“這些都是抽象到一堆像雲霧一樣的了？還有其準確性？為什麼聽起來如此混亂？”

格羅滕迪克說：“如果拿純粹的集合論表示，那才麻煩，用範疇論讓這些變得簡化了。”

格羅滕迪克說：“這不