第三百四十九章 布勞威爾不動點定理（拓撲學）(第1/2頁)

G．曼諾利對布勞威爾說：“拓撲學對於結構的研究極其重要，試問哪個數學不要基本結構呢？數學的基礎就是結構，所以數學的中心就是拓撲學。”

布勞威爾受到G．曼諾利的啟發，開始有意識的培養自己理解拓撲學的能力。

在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學裡一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石。布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（荷蘭語：L. E. J. brouwer）。

在最初的領域中，這個結果與若爾當曲線定理、毛球定理和博蘇克－烏拉姆定理一樣，是少數刻畫歐幾里得空間之拓撲性質的關鍵定理之一。

數學的中心是拓撲學，拓撲學的中心就是不動點。

布勞威爾深深的清楚，隨著拓撲學的發展，對於拓撲的分類成為了一個重要問題。

布勞威爾與龐加萊開始討論拓撲學的問題，說：“即使我們知道拓撲的本質是關於洞的問題，但是很多東西的拓撲學本質即使的存在的，我們也很難看出來，很難判斷是什麼形狀的。”

龐加萊說：“看著很混沌，不容易判斷，但是也不能一點根據都沒有。”

布勞威爾說：“當然有根據，我們能夠感覺到這種根據。”

龐加萊說：“你沒辦法去測量，你如何去描述這些複雜的形狀，屬於是那種型別的拓撲形狀？”

布勞威爾說：“我感覺到，可以去尋找一些相對固定的點，以這個點的特徵去區分各種種類的拓撲形狀。”

龐加萊說：“固定的點？如何固定？”

布勞威爾說：“就是一個東西經過變化之後，其中有些點原來的點在位置上沒有發生變化。”

龐加萊表示不明白。

布勞威爾說：“取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的座標系以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀，放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那麼第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。”

龐加萊來了興趣，笑著說：“你確定過了？有這種有趣的事情？”說罷，龐加萊找了兩張一模一樣的紙，合起來平鋪在桌子上，把上面的那一張紙揉搓成一團，放在一張紙上。然後心裡開始感覺，貌似至少一個點都還在原來位置的。

布勞威爾說：“如果你在大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標註足夠精確，那麼這個點就是把實際地形射到地圖的連續函式的不動點。”

龐加萊說：“沒錯，確實如此，太好玩了。”

布勞威爾說：“如果我們用一個密封的鍋子煮水，那麼總有一個水分子在煮開前的某一刻和煮開後的某一刻處於同樣的位置。地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中是不變的，也就是自轉運動的不動點。”

龐加萊說：“你剛剛舉出了二維的例子和三維的例子，看來這是一個普遍問題，難以從表面感知，但是卻是真實存在的。”

布勞威爾定理在拓撲學中也有重要的地位。這個定理也被應用於證明各種微分方程的深入結果中，在大部分的微分幾何課程中都可以見到對這個定理的介紹。

即使在看上去與這個定理沒有什麼關係的領域，例如博弈論中，也能見到布勞威爾定理的應用。

在經濟學中，布勞威爾不動點定理以及其推廣：角谷靜夫定理在證明經濟學市場中全域性平衡的存在性中扮演了重要角色。後者是由諾貝爾獎獲得者吉拉德·德布魯和肯尼斯·阿羅在二十世紀五十年代發展起來的。

平面上：每一個從某個給定的閉圓盤射到它自身的連續函式都有至少